Códigos con la métrica del rango y sistemas de Steiner q-análogos

Abstract

La presente tesis está dedicada al estudio de los códigos con la métrica del rango sobre cuerpos finitos, con especial énfasis en su estructura algebraica y en las conexiones combinatorias que los vinculan con áreas de las matemáticas discretas, en particular con la teoría q-análoga de diseños. Se introducen las nociones fundamentales de los códigos con métrica de rango y de los diseños q-análogos, estableciendo el marco conceptual necesario para los desarrollos posteriores. Se presentan resultados originales sobre la relación entre códigos dualmente AMRD y diseños combinatorios, identificando condiciones bajo las cuales estos códigos dan lugar a diseños q-análogos. En particular, se demuestra que los vectores de peso mínimo de ciertos códigos dualmente AMRD con parámetros [2d, d, d] generan sistemas q-análogos de Steiner, ofreciendo así una interpretación combinatoria precisa de estas estructuras algebraicas. Además, se analiza la descomposición de códigos MRD en términos de códigos simples. Se introduce el concepto de códigos MRD completamente reducibles y se demuestra que es posible descomponer ciertos códigos MRD como suma directa de códigos simples. Este enfoque proporciona una caracterización más detallada de la estructura interna de los códigos MRD, destacando el papel fundamental de los códigos de Gabidulin.