Representaciones de Gerbes multiplicativos

Abstract

Un gerbe es una estructura geométrico-topológica asociada a un espacio que proporciona una realización geométrica de la cohomologia de orden tres de una variedad. Esta realización geométrico topológica es análoga a la forma en que un fibrado de líneas es una realización geométrica de la cohomologia de orden dos. En este trabajo presentamos la 2-categoría monoidal de gerbes donde un gerbe es un espacio topológico junto con una información topológica clasificada por la clase de Dixmier-Douady. Nos interesamos en particular en entender los objetos tipo grupo en esta categoría y mostramos que los objetos tipo grupo se pueden ver como lo que se han denominado en la literatura como un gerbe multiplicativo. Utilizando que es un grupo objeto en gerbes procedemos a definir sus representaciones en la misma 2-categoría. Por medio de manipulaciones categóricas podemos definir su centro y en casos particulares podemos ver cuando dos de estos centros son equivalentes; este el caso cuando los gerbes multiplicativos son duales de Pontrjagin. Lo anterior permite generalizar equivalencias de Morita conocidas en algebras de Hopf sobre grupos finitos a grupos topológicos.