Solución de ecuaciones diferenciales parciales por medio de la interpolación de Lagrange

Abstract

En Ciencias de la Computación e Ingeniería problemas relacionados a la física y dinámica de sistemas reales pueden ser modelados mediante el uso de ecuaciones diferenciales parciales. Debido a esto, su solución es requerida para la correcta comprensión del fenómeno natural. Los métodos analíticos que se usan tradicionalmente para la solución de dichas ecuaciones son computacionalmente intratables en la práctica y por lo tanto, los problemas son resueltos numéricamente. El objetivo de este proyecto es proponer un método de solución numérica para ecuaciones diferenciales parciales. Inicialmente, el dominio es discretizado mediante el uso de una malla numérica y la solución en cada punto de la malla es expresada como una combinación lineal de funciones bases radiales y polinomios interpoladores de Lagrange en cada una de las dimensiones. Mediante el incremento en el grado del polinomio, mejores soluciones son encontradas sin necesidad de aumentar la resolución de la malla numérica. Entre las limitaciones encontradas, como en el caso de diferencias finitas y elementos finitos, un sistema de ecuaciones lineales debe ser resuelto para aproximar la solución del problema, lo que incrementa la latencia durante los cálculos computacionales.

In Computer Science and Engineering fields most of problems are related to physics and dynamics of real systems. These systems can be modelled through Partial Differential Equations and therefore, they proper understanding can be obtained when they are solved. In practice, analytical methods for the solution of PDEs are forbidden commonly owing to computational resources. The main scope of this project is to propose a numerical method for the solution of PDEs based on Gaussian radial basis functions and Lagrange interpolation. The method proceed as follows: initially, a numerical grid is built on the domain of interest and the solution at each point of such domain is expressed as a convex combination of Lagrangians basis functions. By increasing the polynomials degree, the accuracy of the method is increased and even more, this can be performed without the need of increasing the resolution of the grid. However, the proposed method suffer from well-known problems in the context of Finite Differences and Finite Element Methods: a linear system must be solved during the solution of the problem which demands high latencies among processors when parallel solutions want to be obtained.