Códigos de red correctores de errores en el espacio proyectivo

Abstract

Este trabajo consta de tres capítulos y está basado principalmente en el papper elaborado por Tuvi Etzion y Alexander Vardy titulado: Error-Correcting Codes in Projective Space. En el capítulo 1, con los preliminares necesarios, se presentan de niciones, teoremas, propiedades, lemas y ejemplos relacionados con el q-ésimo coeficiente de Gauss, los grafos de Johnson y Grassmann, la partición de un espacio vectorial y los esquemas de asociación. Esto con el fin de justificar su uso en el desarrollo de los siguientes capítulos. En el capítulo 2 se presentan los códigos en el espacio proyectivo, Pq(n). Koetter y Kschischang en sus trabajos: Error correcting in random Network Coding y Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding, demostraron que son precisamente estos códigos los que se necesitan para la corrección de errores en la red. Los llamados (n,M, d) y (n,M, d, k) códigos en el espacio proyectivo son similares, respectivamente, a los códigos en el espacio de Hamming, y códigos de dimensión constante en el espacio de Johnson, donde la distancia de Hamming sirve como la métrica. Finalmente, se establecen algunas cotas superiores para el tamaño de los códigos en la k- Grassmanniana, Gq(n; k), llamados códigos de dimensión constante. En el capítulo 3, se presentan algunas construcciones de códigos en Pq(n) y Gq(n; k). Estos códigos están basados en las estructuras de Steiner y programas computacionales para la consecución de códigos cíclicos en Pq(n). En este capítulo se presentan nuevos ejemplos de códigos cíclicos, los cuales fueron construidos con el apoyo del software libre GAP - Groups, Algorithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra y MAGMA Computational Algebra System.