Formulación, deducción e implementación de métodos Runge-Kutta-Nyström implícitos de alto orden para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Abstract

Este trabajo tiene como objetivo principal deducir y construir un método Runge-Kutta-Nystrom implícito de alto orden. Para llegar a esto primero hacemos un repaso de los conceptos básicos de una ecuación diferencial y sistemas de ecuaciones diferenciales al igual que de los métodos numéricos. Posterior a ello, estudiamos más a fondo los métodos numéricos Runge-Kutta. Aquí abordamos temas de orden, series de Butcher, árboles monótonamente ordenados, hipótesis simplificadoras y construcción de los métodos RK tanto explicito como implícito. Una vez cumplido esto, nos enfocaremos en introducir los métodos Runge-Kutta-Nystrom (RKN). Su función principal es resolver numéricamente ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Aquí estudiamos la convergencia global, las condiciones de orden, la representación gráfica de las derivadas sucesivas, las hipótesis simplificadoras de estos métodos, para posteriormente junto con todas las herramientas recolectadas realizar la construcción del método implícito. Por último, se realizan experimentos numéricos con los métodos RKN ya publicados para contrastarlos con los resultados obtenidos con el método construido y de esa forma evaluar su comportamiento.